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O matemático desaparecido

A medalha Fields, considerada o «Nobel da matemática», foi entregue a quatro matemáticos, mas um deles é mais difícil de encontrar do que a demonstração dos seus teoremas.

Na abertura oficial do Congresso Internacional de Matemáticos, terça-feira passada, em Madrid, alinhavam-se as medalhas Fields, que constituem o galardão mais elevado que se pode obter em matemática. Foi revelada a lista de homenageados. Três homens receberam o prémio das mãos do rei Juan Carlos, que presidiu à cerimónia. O quarto, de consagração certa, tal era o excepcional valor do seu trabalho, estava ausente.

Grigori Perelman tornou-se famoso por resolver a célebre conjectura de Poincaré, um desafio que durante cem anos resistiu aos ataques das mentes matemáticas mais brilhantes. Mas fê-lo de forma pouco usual, tal como pouco usual é o seu estilo de vida. Perelman é um matemático russo misterioso. Nos últimos anos, remeteu-se a um isolamento quase absoluto. O que iria acontecer em Madrid tornara-se motivo de especulações que tinham transpirado discretamente para a imprensa. O «New York Times» perguntava: «Grisha Perelman, where are you?» O londrino «The Guardian» chamava-lhe «the cleverest man in the world». «Le Monde» descrevia-o como vivendo num outro universo.

O mundo de Perelman é o mundo da matemática. Nascido em São Petersburgo, em 1966, destacou-se ainda na escola, com 16 anos, quando ganhou a medalha de ouro das Olimpíadas Internacionais de Matemática com uma prova perfeita. Alcançar uma medalha nas Olimpíadas Internacionais é já um feito, pois a competição agrupa os melhores jovens de todo o mundo, vencedores das Olimpíadas dos seus países, mas conseguir uma medalha de ouro e um teste perfeito representa um sucesso invulgar.

Depois de se doutorar na Universidade de São Petersburgo e de assumir uma posição no Instituto de Matemática Steklov, esteve alguns tempos nos Estados Unidos, onde se tornou conhecido em conferências de apresentação dos seus trabalhos. Declinou ofertas de Princeton e de outras grandes universidades e regressou a São Petersburgo. Em 1996, surpreendeu os seus colegas recusando um prestigiado prémio da Sociedade Europeia de Matemática.

Na sua passagem pelos Estados Unidos, tinha ganho fama de homem de poucas palavras, afastado do mundo - «a kind of unworldly person», como disse depois ao «New York Times» o matemático Robert Greene, da Universidade da Califórnia, em Los Angeles (UCLA), acrescentando que se parecia «com Rasputine, com cabelos e unhas compridos», e se revelava «amistoso, mas desinteressado de coisas materiais». Em 2002, colocou na Internet, num portal de arquivo de trabalhos científicos, um artigo em que mostrava como ultrapassar uma série de graves dificuldades que alguns matemáticos tinham encontrado - era o mais sério ataque até então empreendido à dita conjectura de Poincaré.

Conjecturas são fundamentais em matemática. Representam intuições que guiam a investigação. Uma conjectura bem colocada faz avançar a ciência. Não só porque aponta para resultados plausíveis, que, a provarem-se verdadeiros, se tornam basilares, mas também porque obriga a desenvolver instrumentos e técnicas novos. Há conjecturas célebres. Uma delas, chamada Último Teorema de Fermat, só foi demonstrada 350 anos depois de ser formulada. Outras perduram, sem se ter a certeza de serem verdadeiras ou falsas, como a Hipótese de Riemann. E foi o caso da conjectura de Poincaré.
 
Formulada em 1904 pelo matemático francês Henri Poincaré (1854-1912), incide sobre um ramo fundamental da matemática chamado topologia. Segundo um aforismo célebre, que refere o carácter abstracto e fundamental da topologia, nessa disciplina não se distingue uma chávena de um donut. Na realidade, a topologia estuda propriedades fundamentais de objectos e espaços que não se alteram por uma deformação plástica (homeomorfismo). Se imaginarmos uma chávena de plasticina, podemos moldá-la de forma contínua, transformando-a num donut. Da mesma forma, podemos moldar um coelho de plasticina até o levar a uma forma esférica. Mas nem o coelho nem a esfera de plasticina se podem transformar numa chávena nem num donut, a não ser que se lhes abra um buraco ou se lhes juntem pontas - transformações não permitidas.

Poincaré notou que a superfície esférica e outras que lhe são redutíveis podem ser caracterizadas por uma propriedade fundamental: qualquer curva simples fechada, colocada sobre essas superfícies, pode ser reduzida continuamente até se transformar num ponto sem com isso se quebrar nem obrigar a superfície a quebrar-se. O mesmo não se passa com a superfície de um toro (donut). Neste caso, se a curva passar pelo orifício, não há maneira de a reduzir a um ponto sem a quebrar ou sem quebrar o toro. É o que se pode visualizar na infografia junta, em que um laço se pode sempre apertar indefinidamente sobre a superfície de uma esfera, mas o mesmo não se pode sempre fazer sobre a superfície de um donut.

Poincaré pensou que essa propriedade distintiva de superfícies do tipo da esférica (incluindo a superfície de um «coelho») se poderia generalizar a quatro dimensões. A fronteira de uma esfera de três dimensões é uma superfície (chamada variedade de duas dimensões). A fronteira de uma esfera situada em quatro dimensões será um «volume» (variedade de três dimensões). É difícil visualizar qualquer objecto que viva a quatro dimensões, mas é possível estudá-lo e classificá-lo matematicamente. Era esse o objectivo de Poincaré.

No século XX, vários matemáticos fizeram progressos no estudo aberto pelo cientista francês. Estranhamente, foi possível demonstrar a conjectura em dimensões mais elevadas (Stephen Smale, 1961, e Michael Freedman, 1982). E foi possível fazer avanços na classificação dos objectos topológicos. O norte-americano William Thurston (n. 1946) avançou uma conjectura mais geral que a de Poincaré, imaginando que todas as estruturas geométricas são a combinação de apenas oito geometrias fundamentais. E Richard Hamilton (n. 1943) desenvolveu uma técnica, chamada fluxos de Ricci (Ricci flows), que permitia transformar analiticamente uma estrutura mantendo as mesmas características topológicas.

Foi aqui que Perelman entrou. Em 2002, colocou na Internet um artigo em que mostrava como se podiam aplicar as ideias de Hamilton em alguns casos. Mas não justificava devidamente todos os pormenores, parecendo que deixava aos outros o trabalho de os verificar. Tratava-se de um procedimento altamente irregular. Habitualmente, os cientistas apresentam os seus trabalhos a revistas internacionais da especialidade, com um sistema de arbitragem («referee»), e justificam os passos essenciais, para que eles possam ser verificados antes da aceitação do artigo e sua publicação. Mas o prestígio de Perelman era já tal e o problema era de tal forma importante que alguns matemáticos se debruçaram sobre o seu trabalho, procurando verificá-lo passo a passo. Não encontraram erros. Em 2003, o artigo tinha sido verificado.

Perelman enviou então um segundo artigo, em Julho de 2003, em que tratava os casos mais difíceis, aqueles em que aparecem «singularidades», isto é, aqueles casos em que a técnica de fluxos de Ricci é mais difícil de aplicar. De novo, o procedimento foi irregular. O artigo apenas esboçava as soluções. Os matemáticos voltaram a debruçar-se sobre este segundo trabalho, procurando limar as suas arestas e completar os pormenores. No total, foram produzidas cerca de mil páginas de densas justificações matemáticas, que apenas um número muito restrito de especialistas consegue entender. A demonstração de Perelman, segundo todos os que estudaram o seu trabalho, está correcta e é um feito extraordinário de imaginação e técnica.

É um feito tão extraordinário que a demonstração da conjectura de Poincaré está incluída entre os sete problemas matemáticos do milénio, seleccionados como tal pelo Instituto Matemático Clay. Assim sendo, o Instituto Clay colocou de parte um milhão de dólares de prémio pela resolução de cada um desses problemas (www.claymath.org). Grigori Perelman, contudo, não parece interessado em reclamar o seu prémio.

Nos últimos tempos, muitos colegas e jornalistas tentaram contactá-lo, mas sem sucesso. Esta semana, a «New Yorker» conseguiu obter algumas declarações: Perelman não está interessado em receber nenhum prémio e afastou-se da vida académica. Abandonou o próprio Instituto Steklov. Segundo um dos seus colegas, «podem procurá-lo pela floresta, onde está a apanhar cogumelos». Se há matemáticos e cientistas que ficaram famosos pelas suas bizarrias, Perelman parece ultrapassá-los. Mas também ultrapassa quase todos pela sua genialidade. Há coisas que se desculpam aos génios.