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Expresso

Solução para o Problema da Semana “A dissecção”

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Na sexta-feira deixámos AQUI um problema sobre as secções de um cubo.

É muito fácil cortar um cubo com um plano por forma a que a secção obtida seja um triângulo ou um quadrado com os lados todos iguais:

Será que também conseguimos obter um pentágono regular? Ou seja, um polígono de cinco lados, com os lados e ângulos todos iguais. E um polígono regular com seis lados? E sete?

Embora já seja necessário uma boa capacidade de visualização, não é difícil ver que é possível obter uma secção que seja um polígono com cinco lados:

Contudo, observamos algo curioso: os lados do polígono resultante são formados pela intersecção do plano com os lados do quadrado. Como o quadrado tem seis lados paralelos dois a dois, se o polígono resultante tiver cinco lados, pelo menos dois deles têm de ser paralelos. Acontece que num pentágono regular não há nenhum par de lados paralelos, logo não é possível obter um polígono regular com cinco lados.

Por outro lado, é possível de obter um hexágono regular. A próxima figura fala por si:

Observe como os lados do hexágono são paralelos dois a dois, o que está de acordo com o que observámos antes.

Finalmente, volta a não ser possível obter um polígono regular com sete lados, um heptágono.

Há duas formas de argumentar. Uma possibilidade é usar um argumento semelhante ao do pentágono: num heptágono também não há nenhum par de lados paralelos. Outra forma é observar que cada lado do quadrado pode produzir no máximo um lado do polígono resultante. Como o quadrado só tem seis lados, nunca poderia aparecer um polígono com sete lados.

Na próxima sexta-feira regressamos com novo Problema da Semana. Esperamos por si