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Expresso

Solução para o problema “As garras do leão”

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Na semana passada deixámos aqui o seguinte problema:

O leitor está dentro de um lago circular. Na margem há um leão esfomeado que não se atreve a entrar na água. O leão vai contornando o lago na direção do ponto que fica mais perto da posição em que o leitor se encontra. O leão consegue correr a uma velocidade quatro vezes superior à velocidade que o leitor consegue nadar. Ainda assim, se o leitor conseguir chegar a um dos pontos da margem antes do leão, vai conseguir escapar ao leão. Qual pode ser a sua estratégia para conseguir escapar ao leão?

Este é um problema clássico de fuga. Claro que, para alguém que se visse dentro de um lago com um leão na margem, o mais provável seria seguir a intuição e ir procurando fintar o leão por tentativa e erro até chegar à margem. Mas como sempre o que se pretende é encontrar uma estratégia que: por um lado possa guiar a intuição do fugitivo, por outro lado prove que há de facto uma possibilidade de fuga.

Vamos supor que o lago tem um raio de R metros. Nesse caso o perímetro do lago mede 2 Π R. Vamos considerar um dos piores cenários: o leitor está exactamente no centro do lago. Se começar a nadar em linha reta para a margem, terá de nadar R metros. Nesse caso o leão tem de fazer metade da circunferência, ou seja aproximadamente 3,14 R metros para chegar a esse ponto do lago. Como o leão corre quatro vezes mais depressa, quando o leitor chegar à margem já lá está o leão à sua espera.

Uma possível estratégia consiste em separar a fuga em duas fases. Numa primeira fase o leitor nada para uma posição em cima da circunferência de raio R/4, concêntrica com o lago, de forma a que fique no ponto dessa circunferência oposto à posição do leão. Isto é sempre possível. O perímetro do lago é quatro vezes superior ao perímetro de uma circunferência com raio R/4, como o leitor nada a ¼ da velocidade de corrida do leão, sempre que nadar em circunferências, concêntricas com o lago, com raio inferior a R/4, consegue colocar-se numa posição oposta ao leão.

Logo que esteja na circunferência concêntrica com o lago, de raio R/4 e num ponto oposto ao leão, só tem de correr em linha recta para a margem. Nessa altura está a ¾ R= 0,75 R da margem e o leão vai ter de correr aproximadamente 3,14 R metros para lá chegar. Como o leão terá de correr mais de quatro vezes a sua distância, vai lá chegar mais tarde.