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Expresso

Solução para o problema da semana “O tesouro dos piratas”

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O desafio desta sexta-feira é um clássico do matemático Raymond Smullyan, que merece ser mais conhecido

Na passada sexta-feira deixámos AQUI um problema. Hoje apresentamos-lhe a solução.

Recordamos o enunciado do problema. Um grupo de 5 piratas pretende repartir um tesouro de 100 moedas de ouro. O pirata mais velho é o capitão e deve fazer uma proposta de divisão do tesouro. Se pelo menos metade dos piratas votar a favor da proposta, cada um recebe o número de moedas previstas na proposta vencedora. Se a proposta for recusada, o capitão é empurrado para fora do barco e o segundo pirata mais velho é promovido a capitão. O processo repete-se até os piratas chegarem a um acordo no modo de dividir as moedas. Qual será o método escolhido na divisão do tesouro?

Será que o capitão consegue apresentar uma proposta vencedora, preservando desta forma a própria vida? Vamos ver que sim, e até guardando para si a quase totalidade do tesouro. Lá diz o ditado: "Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é burro ou não tem arte".

Vamos começar por considerar versões mais simples do problema original, com um número inferior de piratas. Com apenas 2 piratas, qualquer proposta apresentada pelo capitão será aprovada. Assim, o capitão propõe a divisão: 100 para si e nada para o segundo pirata. Com 3 piratas inicialmente, o capitão fica com 99 moedas e dá 1 moeda ao terceiro pirata. Se votasse contra a proposta do capitão, o terceiro pirata, depois da morte do capitão, ficaria nas mãos do segundo pirata, o qual não lhe iria oferecer qualquer moeda. E o que acontece com 4 piratas? Neste caso, o capitão precisa apenas do apoio de um dos outros 3 piratas. Basta dar 1 moeda ao terceiro e ficar mais uma vez com 99 moedas para si. Analogamente, se o terceiro pirata recusasse a proposta, ficaria sem moeda nenhuma.

Vamos agora ver o que acontece com 5 piratas. O capitão precisa de convencer 2 dos outros piratas a votar a favor da sua proposta. Para isso, o capitão oferece uma moeda ao terceiro e outra ao quinto pirata, ficando com 98 moedas para si. Se estes recusarem esta proposta, depois da morte do capitão, não lhes será atribuída qualquer moeda. Em resumo, a divisão das moedas aprovada é a seguinte: (98, 0, 1, 0, 1).

Nos comentários ao problema, o leitor jpa, além de ter apresentado a mesma solução descrita em cima, deixou uma questão interessante: o que acontece se o número de piratas for muito elevado, será que o capitão consegue sempre apresentar uma proposta vencedora, salvando assim a própria vida? Deixamos aos leitores este interessante desafio suplementar.

  • O desafio desta sexta-feira é um clássico do matemático Raymond Smullyan, que merece ser mais conhecido