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Expresso

Solução para o problema da semana “Chapéus há muitos”

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Na sexta-feira passada colocámos dois problemas com chapéus. Este tipo de problema é clássico e existem dezenas de variantes. O primeiro é um dos mais conhecidos, o segundo é um caso particular de um problema muito mais geral e difícil que apresentamos abaixo.

No primeiro problema, há quatro membros de uma equipa candidata a um emprego, cada um com um chapéu preto ou branco na cabeça, tal como na figura abaixo. Eles sabem que há dois chapéus brancos e dois pretos.

O candidato A está atrás de uma parede, não consegue ver a cor do chapéu dos outros nem os outros conseguem ver a cor do seu chapéu. Os outros três estão em fila, todos virados para a parede, cada um só consegue ver a cor dos chapéus que estão à sua frente. Para superarem a prova, pelo menos um deles vai ter de adivinhar a cor do seu próprio chapéu.

A pergunta é: quem vai adivinhar a cor do seu chapéu? A resposta é: o candidato C.

Num primeiro momento ficam todos calados. Entretanto o candidato C, que está a ver um chapéu branco, pensa assim: -Se eu tivesse um chapéu branco o candidato D, que sabe que só há dois chapéus brancos, saberia que o seu é branco. Mas ele está calado. Logo o meu chapéu é preto.

No segundo problema os candidatos não sabem a quantidade de chapéus brancos ou pretos, embora saibam que há pelo menos um branco e um preto. Desta vez, cada um deles consegue ver a cor do chapéu de cada um dos outros candidatos. Para passarem na prova todos os candidatos têm de adivinhar a cor do seu próprio chapéu. Como sempre ninguém pode falar a não ser para dizer qual é a cor do seu chapéu.

A solução não é muito diferente da anterior. Há duas possibilidades, se existirem três chapéus da mesma cor, o candidato que tem cor diferente vai saber qual é a cor do seu chapéu e anuncia a cor do seu chapéu de imediato. Os outros percebem como ele chegou à conclusão de imediato e ficam a saber que a cor do seu chapéu é a oposta. Se num primeiro momento ninguém falar, ficam a saber que há dois chapéus brancos e dois pretos e é fácil a cada um deduzir a cor do seu próprio chapéu sabendo qual é a cor dos outros.

E se fossem muitos os candidatos? Vamos supor que temos um grupo de candidatos, com mais de quatro elementos, cada um com um chapéu branco ou preto na cabeça. Ninguém sabe qual é a cor do seu chapéu mas cada um pode ver a cor dos outros. Também sabem que há pelo menos um chapéu branco e um preto no grupo. Será que existe uma estratégia que possa ser combinada previamente entre os elementos do grupo para que cada um consiga adivinhar a cor do seu próprio chapéu?

Um dos nossos leitores não só enunciou esta generalização do problema como criou uma solução, que pode ver num dos comentários do nosso artigo de sexta-feira passada.