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Expresso

Solução para o problema da semana “O dia da execução”

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Na passada sexta-feira deixámos AQUI um problema. Hoje apresentamos-lhe a solução.

Recordamos o enunciado do problema. Dois prisioneiros estão encarcerados cada um numa de duas celas, situadas em dois extremos opostos de um castelo. Todos os dias, em cada uma das celas, é lançada uma moeda ao ar. Os prisioneiros sabem que face da moeda saiu na sua cela, mas ignoram o resultado no lançamento da outra moeda. Para sobreviverem a cada dia, o rei exige que um deles adivinhe o resultado do lançamento da moeda na outra cela. Qual será a melhor estratégia para adiar o dia da execução?

O pedido do rei parece inicialmente muito difícil de satisfazer. Como podemos adivinhar o resultado do lançamento da moeda na cela que não é a nossa? A probabilidade de cada um dos prisioneiros acertar no resultado da outra moeda é de 50%. Por outro lado, a probabilidade de pelo menos um deles acertar é de 75%. Tentando apenas adivinhar o resultado na outra cela, os dois prisioneiros não podem resistir muitos dias.

A chave para este problema, como muitos leitores perceberam, é fazer com que o palpite errado de um coincida com o palpite certo do outro.

Uma estratégia possível é a seguinte: o primeiro prisioneiro usa o resultado do lançamento da moeda na sua cela e o segundo prisioneiro usa o resultado contrário do lançamento da moeda na sua cela.

Vamos verificar que esta estratégia simples funciona. Suponhamos que os resultados obtidos no lançamento das duas moedas, num certo dia, são distintos. Neste caso, o segundo prisioneiro irá certamente acertar no seu palpite! O que acontece se os resultados no lançamento das duas moedas, num certo dia, coincidirem? Neste caso, o primeiro prisioneiro tem o palpite vencedor. Em qualquer caso, um dos prisioneiros acerta no resultado do lançamento da moeda na outra cela.

Na verdade, um dos dois palpites está sempre correto e o outro errado. Ao fim de 30 dias, como prometeu o rei, podem sair em liberdade.