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Expresso

Solução para o problema da semana “Como arrumar as moedas?”

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Na sexta-feira passada colocámos o seguinte desafio: consegue dispor cinco moedas iguais de forma a que cada uma delas esteja em contacto com todas as outras?

Tanto quanto sabemos, este problema foi criado por Henry Dudeney, um matemático britânico que ficou conhecido pelos seus quebra-cabeças.

Há várias soluções possíveis. Nos comentários do artigo de sexta-feira pode encontrar algumas. Nós contribuímos com mais uma solução que conseguimos obter com moedas de 50 cêntimos e uma boa cola.

Como os nossos leitores observaram, em geral estas construções dependem da relação entre o raio e a espessura da moeda. Por exemplo, a construção anterior não seria possível com moedas mais espessas.

Há também um outro tipo de solução um pouco mais polémica. Se colocarmos dois pares de moedas empilhadas lado a lado, como na figura em baixo, podemos depois colocar uma quinta moeda na perpendicular e a tocar em todas as outras quatro.

O que se passa é que entre as quatro moedas que foram empilhadas lado a lado não é claro se as duas que estão em diagonal estão em contacto uma com a outra. Se as moedas fossem cilindros perfeitos com esquinas vivas, sim, estariam em contacto. Acontece que as moedas reais tem esquinas arredondadas, de origem ou provocadas pelo uso.

De qualquer forma, se aceitarmos a última construção como solução, então também é possível colocar seis moedas todas em contacto com todas as outras como na figura em baixo.

Se gostou deste desafio pode agora tentar resolver o seguinte:

Quantos lápis consegue colocar juntos de forma a que todos estejam em contacto com todos?

Vamos assumir que os lápis são cilíndricos e compridos. Este quebra-cabeças é de certa forma uma variante do problema das moedas. No caso das moedas, os cilindros são largos e baixos, neste caso são finos e compridos.

Podemos desde já adiantar que colocar seis lápis é relativamente fácil. Sete é possível, mas bastante mais difícil de encontrar a solução.

O número máximo de moedas ou lápis que se consegue colocar em contacto não é conhecido. Este é o tipo de problema onde se chega ao limite da matemática atual. Encontrar uma destas soluções desconhecidas é como subir um pico de uma montanha onde mais ninguém esteve. Para subi-lo... comece por pegar em sete moedas e tentar a sua sorte.