Siga-nos

Perfil

Expresso

Solução para o problema da semana “Quem parte e reparte...”

  • 333

Na passada sexta-feira deixámos AQUI um problema. Hoje apresentamos-lhe a solução.

Temos inicialmente 99 sacos, cada um deles contém um certo número de laranjas e maçãs. Conhecemos o conteúdo dos sacos, mas não podemos mexer na fruta. Será sempre possível escolher 50 destes sacos, contendo simultaneamente pelo menos metade do número total de laranjas e maçãs?

Existem diversas maneiras de mostrar que é possível escolher os 50 sacos nas condições anteriores. É comum em matemática existirem diversos argumentos para um resultado interessante - um pouco como as múltiplas estradas que sempre nos levam a Roma.

O argumento que escolhemos para apresentar neste caso, além de simples, fornece ainda um algoritmo para fazer a escolha dos 50 sacos. Muitas vezes, os argumentos matemáticos mostram apenas a existência de algo, sem nos indicar onde devemos procurar.

A primeira coisa a fazer é ordenar os sacos por ordem crescente do número de laranjas.

E agora vamos escolher com que sacos ficamos:

- entre o saco 1 e 2, escolhemos o que tiver mais maçãs;

- entre o saco 3 e 4, voltamos a escolher o que tiver mais maçãs;

- e assim sucessivamente até ao saco 97 e 98, onde escolhemos mais uma vez o que tiver mais maçãs;

- o último saco a ser escolhido é o saco 99, aquele que tem mais laranjas.

Não é difícil verificar que escolhemos exatamente 50 sacos e que temos pelo menos metade das laranjas e das maçãs nesses.

  • “Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é tolo ou não tem arte.” Hoje vamos pedir ao leitor para tentar ficar com a melhor de duas partes