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Expresso

Solução para o problema da semana “De olhos vendados”

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Na passada sexta-feira deixámos AQUI um problema. Hoje apresentamos-lhe a solução.

Em cima da mesa foram colocadas as 52 cartas de um baralho. Metade das cartas tem a face voltada para cima e a outra metade a face voltada para baixo. Será possível,  a alguém com os olhos tapados, separar as cartas em dois montes, ambos com exatamente o mesmo número de cartas com a face voltada para cima? 

Com os olhos vendados, começamos por separar as 52 cartas em dois montes iguais, ambos com 26 cartas. Não sabemos quantas cartas com a face voltada para cima estão em cada um dos dois montes, mas sabemos que no total existem na mesa 26 cartas com a face voltada para cima. 

Se N for o número de cartas que têm a face voltada para cima no primeiro monte, no segundo monte existem 26 - N cartas com a face voltada para cima e logo N com a face voltada para baixo. Se invertermos todas as cartas do segundo monte, passam a estar N cartas voltadas para cima no segundo monte e os dois montes ficam com o mesmo número de cartas com a face voltada para cima. 

Será possível saber quantas cartas há em cada monte com a face voltada para cima, depois de virar as cartas do segundo monte? Não, pode ser um número qualquer inferior ou igual a 26. 

E se inicialmente, em vez de metade das cartas com a face voltada para cima, existirem 10 cartas voltadas para cima? Será que o mesmo tipo de procedimento permite, mais uma vez, separar o baralho, de olhos fechados, em dois montes com o mesmo número de cartas voltadas para cima? 

O nome Diaconis, escolhido para o mágico no enunciado do problema, é uma homenagem ao matemático e mágico americano Persi Diaconis.