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Expresso

Qual a melhor altura para parar?

Imagine que está a vender algo, por exemplo a sua casa. Já recebeu algumas ofertas, mas recusou todas até agora. Entretanto aparece alguém com uma oferta razoável: será melhor aceitar... ou recusar e esperar pela próxima oferta? Claro que se recusar esta oferta vai perder o cliente e nunca se sabe se no futuro aparecerá um cliente melhor. O que fazer?

Curiosamente a matemática fornece uma estratégia que, embora não garanta que escolhe o melhor comprador, maximiza a probabilidade de o encontrar! Esta semana falamos sobre o problema da paragem, o que faz todo o sentido porque também nós vamos parar por aqui, neste que é o último episódio da 11ª temporada. É ver!

O problema da paragem é também conhecido como problema da secretária. Quando alguém quer escolher uma pessoa para um certo emprego, por exemplo uma secretária, pode deparar-se com um problema semelhante ao da princesa Josefina. Há também quem o conheça como jogo do googol, dada a forma como Martin Gardner o introduziu numa das suas famosas crónicas na Scientific American, em 1960.

Gardner via este problema como um jogo: suponhamos que alguém escreve números numa série de pedaços de papel e vira estes pedaços para baixo. Os números podem ir de um até números tão grandes como um googol (trata-se do número que se escreve com um um seguido de 100 zeros e que falámos num dos episódios anteriores). Na verdade, pode haver até números maiores, o objetivo é que quando vire um dos papeis, fique sempre na dúvida se haverá ou não um número ainda maior noutro papel. O outro jogador vai virando papeis e, tal como a Josefina, tem de decidir quando parar de virar papeis. Ganha o jogo se parar de virar papeis quando virar o maior número.

Um dos problemas da estratégia descrita no episódio desta semana, é que só se aplica em situações em que conhecemos à partida o número de candidatos. Na vida real não é bem assim, nunca saberemos ao certo o número de pretendentes que vamos encontrar ao longo da vida, ou o número de interessados na compra da nossa casa. Para usarmos a estratégia descrita temos de fazer à partida uma estimativa do número de candidatos. Também há soluções para o caso em que o número de candidatos é indeterminado, mas não garantem uma taxa de sucesso tão alta.

Não é fácil de explicar detalhadamente como se chega à solução que garante 36,8% de sucesso. Na verdade, a curiosa presença do número de Euler e denuncia um argumento que envolve matemática da pesada. Ainda assim não é difícil perceber porque é que este tipo de estratégia resulta. Imaginemos de novo a situação da Josefina, ela tem de escolher o melhor noivo entre trinta pretendentes. Concentremos a nossa atenção no primeiro e no segundo melhor pretendente. Eles podem estar os dois na primeira metade, podem estar os dois na segunda metade, pode estar o primeiro na primeira metade e o segundo na segunda metade, ou vice-versa. Vamos supor que ela decide sair com a primeira metade dos príncipes, dizer que não a todos, e depois aceitar o primeiro que aparecer na segunda metade e for melhor que todos os anteriores. Com essa estratégia, pelo menos no caso em que o segundo melhor pretendente está na primeira metade e o primeiro na segunda metade, ela acaba por ficar com o melhor pretendente. Como esta situação acontece com 25% de probabilidade, com esta estratégia ela já consegue o melhor partido com 25% de probabilidade, o que não é nada mau. A estratégia que descrevemos - dizer que não aos primeiros 36,8% e aceitar o próximo melhor que todos os anteriores - é simplesmente uma otimização deste tipo de estratégia.

Ainda assim, se decidir usar esta estratégia para escolher o seu noivo - ou a sua noiva - por favor, não lhe diga: é capaz de estragar o romantismo e entornar o caldo! Diga antes que foi amor à primeira vista!

O programa Isto é matemática tem o apoio da Fundação Vodafone Portugal. Se perdeu algum dos episódios das nossas primeiras temporadas, ou simplesmente para recordar, espreite e subscreva os nossos canais Youtube e Facebook.