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Expresso

Isto é Matemática

0,99999... = 1!

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Sim, não é brincadeira, 0,99999... – a dizima infinita periódica de período nove – é mesmo igual a 1. Parece bizarro, mas é mesmo assim! Éder marcou, nem mais nem menos, 0,99999... golos!

No episódio desta semana provamos matematicamente este estranho facto.

Em matemática a chamada prova ou demonstração é algo muito caro a um matemático, muita gente considera que é o que distingue a matemática das outras áreas científicas. Uma demonstração é um argumento lógico que justifica uma afirmação matemática. Este argumento é fundamentado em outras afirmações - para as quais já há uma demonstração - ou em axiomas, que são verdades elementares que se aceitam sem demonstração e que, supostamente, servem de base para todas as teorias matemáticas. Neste episódio, apresentámos três argumentos lógicos para suportar a afirmação de que 0,99999... = 1, ou seja, apresentámos três demonstrações diferentes para este facto.

Idealmente, qualquer afirmação que tenha uma demonstração é matematicamente correta e será correta para sempre, pelo menos enquanto mantivermos esse conjunto de axiomas. Isto é o que distingue um teorema de uma conjetura, um teorema é uma afirmação que já tem uma demostração, uma conjetura é uma afirmação, plausível, mas para o qual não temos uma demonstração.

Na prática é um pouco diferente, uma demonstração é essencialmente um argumento muito claro e sintético para convencer alguém de que o teorema é verdadeiro. Infelizmente, não é raro haver demonstrações que são publicadas em revistas credíveis e onde - muitas vezes anos mais tarde - alguém encontra um erro. Há quem veja uma demonstração como algo cuja probabilidade de estar correto aumenta à medida que é lido por mais e mais leitores. Cada leitor, que não encontra uma falácia no argumento e fica convencido da veracidade da afirmação, é mais uma garantia de que a demonstração é válida. Na prática ninguém acredita que haja um erro na demonstração do Teorema de Pitágoras, biliões de pessoas já reviram as dezenas de argumentos que provam este teorema. Por outro lado, ninguém põe as mãos no fogo por muitos resultados recentes, que não é raro ocuparem dezenas de páginas e terem menos de meia dúzia de leitores.

Uma percentagem considerável do tempo de muitos matemáticos, principalmente dos mais académicos, é escrever demonstrações. Muitos teoremas têm argumentos simples enquanto outros demoram meses a ser provados. A maior parte das demonstrações são apenas mais um dia na vida de um matemático, outras trazem-lhe fama e fortuna. Não é raro haver prémios em dinheiro para quem provar algumas conjeturas, um bom exemplo foi aquele que ficou conhecido como o último Teorema de Fermat, que foi provado 358 anos depois de ter sido enunciado. Foi provado por Andrew Wiles, em 1995, fez manchetes por todo o mundo e trouxe-lhe vários prémios e honrarias, depois de cerca de sete anos de trabalho dedicadas inteiramente à demonstração e centenas de páginas de argumentos.

Mas não desespere, o que não falta por aí são conjeturas à espera de uma demonstração. Alguns exemplos, são os Millennium Problems, cada um tem um milhão de euros à espera de quem encontrar a sua demonstração. Mas há muito mais, AQUI pode encontrar uma lista muito mais extensa de problemas em aberto. De qualquer forma, talvez o melhor seja fazer, como faz a maior parte, criar as suas próprias conjeturas e depois prová-las - é bem mais fácil. Richard Feynman dizia que há dois tipos de problemas, aqueles que se colocam a si próprios e os que nós nos colocamos a nós próprios. Os primeiros são aqueles que toda a gente gostaria de resolver, mas são geralmente muito difíceis, é por isso que passamos a maior parte do tempo a resolver os segundos.

A verdade é que esta ideia de demonstração já entranhou na sociedade em geral. Quando alguém quer dar credibilidade a alguma afirmação é só adicionar um ‘está provado cientificamente’. Mas se quiser mesmo, mesmo, mesmo, acabar com a discussão logo ali, é dar-lhe um ‘está provado matematicamente’!

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