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Expresso

Isto é Matemática

Na volta do pêndulo

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Um dia estava o jovem Galileu na catedral de Pisa - provavelmente a assistir à missa – quando, ao observar um candeeiro suspenso que oscilava, o seu pensamento começou a divagar. Comparando o tempo de oscilação com as suas próprias pulsações, pareceu-lhe que o tempo de oscilação não dependia da amplitude da oscilação. Em boa verdade Galileu estava errado, ainda assim, de certa forma, aproximadamente correto!

Os pêndulos são um dos fenómenos mais simples e mais interessantes de observar e estudar. Embora eu seja um tipo suspeito, passei uma boa parte da minha vida, enquanto investigador em matemática, a estudar fenómenos oscilatórios, cujo pendulo é um dos exemplos paradigmáticos. Mas antes de mais vamos ver como construir uma hipnótica dança de pêndulos.

Mais tarde Galileu fez algumas experiências e concluiu que o tempo de oscilação não depende do peso do objeto que está pendurado. No vídeo, a não ser por uma razão estética, não é importante que as porcas sejam todas iguais. Por outro lado, o tempo de oscilação depende naturalmente do comprimento do fio, basta fazer uma pequena experiência para o comprovar.

Essencialmente também não depende da amplitude das oscilações, desde que essa amplitude não seja muito grande. Se a amplitude de oscilação for inferior a 23º, os tempos de oscilação diferem quando muito 1%. Ou seja, é justo afirmar que Galileu estava aproximadamente correto, principalmente se pensarmos que ele media os tempos a partir das suas próprias pulsações. Foi também por isso que, nas contas que fizemos no vídeo, ignorámos as amplitudes de oscilação.

Pouco tempo depois, um médico de Veneza, contemporâneo e amigo de Galileu, Santorio Santorio, inventou um instrumento que, até certo ponto, é o processo inverso da experiência de Galileu. Ele usou um pêndulo para medir as pulsações. Este instrumento, chamado pulsilogium, foi provavelmente o primeiro mecanismo de precisão a ser usado na medicina.

Recordemos que no século XVI não havia relógios, pelo que, medir o ritmo das pulsações era naturalmente um processo subjetivo e pouco exato. Este instrumento mede o ritmo das pulsações em função do comprimento do fio de um pêndulo. Na altura em vez de se dizer “estou com 51 pulsações por minuto” dir-se-ia algo do género “estou com 24 centímetros de pulsações”.

Mas a principal aplicação para o pendulo foi obviamente medir o tempo, o próprio Galilei usou-o para esse fim. Ainda assim foi Huygens quem desenvolveu os relógios de pêndulo.

Em boa verdade, Galileu estava errado, embora a diferença seja pouca para pequenas oscilações, o tempo de oscilação depende de facto da amplitude. Como num relógio de pêndulo é importante que o tempo de vai e vem não dependa da amplitude, Huygens inventou um processo de resolver esse problema: ele descobriu que, usando pêndulo com um fio maleável, se restringisse esse fio a oscilar entre duas superfícies curvas, conseguiria criar um pêndulo onde o tempo de oscilação não depende da amplitude da oscilação. A figura abaixo ilustra essa ideia. Curiosamente a curva necessária é a famosa cicloide, a curva descrita por um ponto na superfície de uma roda em andamento, que falámos num episódio passado.

No esquema seguinte, retirado de um dos livros de Huygens, podemos ver esta ideia aplicada num mecanismo de um relógio. Huygens, construiu varias versões de relógios ao longo da sua vida, quando começou a trabalhar nisto era natural ter cerca de 15 minutos de erro ao fim de um dia, no final consegui reduzir este erro para 1 minuto por dia. Notável! E isto tudo... baseado num simples pêndulo!

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