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Expresso

De quantas formas se baralha o baralho de cartas?

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Pegue num baralho de cartas e baralhe. É muito, mas mesmo muito, provável que fique na mão com algo único na história da humanidade. Quase de certeza que a ordem que obteve nunca foi obtida antes por ninguém. É mais provável ganhar o Euromilhões nas próximas cinco semanas seguidas do que esta ordenação ter sido obtida antes por alguém!

Mas veja o vídeo em que explicamos de quantas formas diferentes é que o baralho pode estar baralhado.

Provavelmente, tal como eu, é daquelas pessoas que, quando ouve as notícias, tem dificuldade a entender o que é mil milhões de euros. É difícil encontrar na nossa vida - e muito mais difícil na nossa conta bancária - mil milhões de qualquer coisa. Não temos um termo de comparação no nosso dia a dia para este tipo de números.

De qualquer forma, mil milhões é isto:

1 000 000 000.

Já o número de formas diferentes em que as cartas de um baralho podem estar ordenadas, tal como vimos no vídeo acima, é isto:

80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.

Não há termo de comparação que nos valha para este monstro! Isto é mais do que o número de coisas que existe em todo o planeta! Imagine que pega na coisa mais pequena que consegue imaginar: um átomo. Quantos átomos há na terra? É um pouco difícil responder a esta pergunta, porque há muitos tipos de átomos e nós nem sequer sabemos bem o que existe no interior da terra. De qualquer forma, o mais pequeno átomo que existe é o hidrogénio. Um átomo de hidrogénio pesa cerca de

0.000 000 000 000 000 000 000 001 66

gramas. A terra pesa cerca de

6 000 000 000 000 000 000 000

toneladas. Assim, na pior das hipóteses, fazendo as contas por cima, há no máximo

6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 / 0.000 000 000 000 000 000 000 001 66 = 3 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

átomos na terra. É um número muito grande, mas ainda é mais pequeno do que o número de formas diferentes em que o baralho pode estar baralhado.

De qualquer forma, não faz muito sentido o exemplo dos átomos. Nunca ninguém viu um átomo a olho nu, é um exemplo que também foge à nossa intuição. O que nós gostaríamos mesmo era de comparar isto com algo do nosso dia a dia.

A história do baralho é complexa, houve muitas versões até chegar aos dias de hoje. O baralho de quatro naipes e 52 cartas como conhecemos já foi criado na Europa no século XVIII - tem, portanto, uns três séculos. É difícil estimar quantas vezes foi baralhado ao longo destes últimos três séculos, ainda assim podemos jogar pelo seguro. Vamos supor que ao longo destes três séculos cada pessoa que vive atualmente baralhou um baralho uma vez por dia. Este número é claramente exagerado - não só havia muito menos gente nos séculos passados como muita gente nem sequer joga às cartas. Ainda assim, nesse caso o baralho teria sido baralhado este número de vezes:

7 000 000 000 * 365 * 300 = 766 500 000 000 000.

Claro que uma ou outra destas formas saiu repetida, mas vamos supor que foram todas diferentes. Então, este é o número de ordenações que já saiu a alguém ao longo destes três séculos. Se tiver neste momento um baralho na sua mão com as cartas dispostas ao acaso, a probabilidade de esta ordem ser uma das que já foram obtidas antes é:

766 500 000 000 000 / 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000,

o que dá

0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000950307.

Acontece que a probabilidade de uma chave ganhar o Euromilhões é

0.000 000 008 581 35.

A probabilidade de ganhar o Euromilhões na próxima semana e depois voltar a ganhar o Euromilhões na semana seguinte, assumindo que só joga uma chave por semana, é

0.00000000858135 * 0.00000000858135

e assim por diante.

Não é difícil então concluir que: se neste momento tiver um baralho de cartas baralhado na mão, a probabilidade desta ordem já ter estado na mão de alguém é da mesma ordem de grandeza da probabilidade de jogar uma chave em cada uma das próximas seis semanas e ganhar o Euromilhões em cada uma delas.

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