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Expresso

De quantas formas diferentes se pode dobrar um mapa?

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Provavelmente, já lhe aconteceu não conseguir voltar a dobrar o mapa como ele estava dobrado inicialmente. Há muitas formas diferentes de dobrar um mapa. Quantas... ninguém sabe!

No episódio desta semana falamos de origami, a arte de dobrar papel. Curiosamente esta atividade lúdica, está cheia de aplicações na engenharia e de mistérios, como vamos ver abaixo. Mas talvez seja melhor começar por ver o vídeo.

De quantas formas diferentes se pode dobrar um mapa? Muitas, seguramente. Ainda assim... não de qualquer forma. Imagine que tem um mapa quadrado, dividido em quatro partes, uma vermelha, uma amarela, uma azul e uma verde. De quantas formas diferentes é que podemos dobrá-lo? A figura seguinte mostra todas as formas possíveis.

Imagem de Robert Dickau

Claramente que há muitas ordenações de cores que não são possíveis de obter. Por exemplo, não é possível dobrar este mapa de forma a obter a ordenação verde-vermelho-azul-amarelo. Se no lugar de um mapa tivéssemos quatro cartões com estas mesmas cores seria possível empilhá-los de todas as combinações possíveis. Na base poderia estar um dos quatro, depois - escolhida essa cor - poderíamos colocar uma das três restantes na segunda posição, depois um dos dois cartões restantes na terceira posição... e finalmente colocaríamos o que sobrava no topo. Haveria

formas diferentes de empilhar os cartões. Já se esses cartões forem os quadrados de um mapa, como na figura acima, só é possível empilhá-los de oito formas diferentes.

O que é mais curioso é que até agora ainda ninguém encontrou uma fórmula que nos diga diretamente de quantas formas diferentes se pode dobrar um mapa quadrado, dividido em n por n quadrados iguais. Trata-se de um problema em aberto! Claro que para poucos quadrados, podemos usar um computador ou pegar numa folha de papel e contar diretamente o número de formas diferentes. Ainda assim, o que toda a gente gostaria, era encontrar uma fórmula que dissesse diretamente de quantas formas diferentes um mapa pode ser dobrado, em função do número de quadrados.

Há quem pense que na matemática não há nada de novo para ser descoberto ou inventado, há também quem pense que os problemas de investigação em matemática são exóticos e necessitam de anos de trabalho para poderem ser compreendidos; aqui está um problema simples e onde se continua a trabalhar nos dias de hoje. E se ainda há tanto para saber sobre a simples dobra de um mapa, imagine-se num origami complexo como os que vimos no episódio desta semana.

Encontrei este problema, nos meus primeiros anos de faculdade, num dos livros de Martin Gardner (Rodas, vida e outras diversões matemáticas, Gradiva), recordo-me de ter passado horas a dobrar papel e a contar ordenações. Claro que não descobri nada de novo, ainda assim foi o suficiente para sentir a adrenalina de um problema em aberto. Se as equações não o assustam, pode ver aqui um dos últimos artigos sobre a versão mais simples deste problema, um mapa só com uma fila de quadrados.

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