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Isto é Matemática

O crescimento exponencial da economia

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Vamos supor que no dia 1 de Maio temos um nenúfar num lago. No dia seguinte temos 2 nenúfares, no dia seguinte 4 nenúfares, no seguinte 8... e assim por diante. De dia para dia a quantidade de nenúfares duplica. No final do mês, dia 31, o lago está cheiro. Em que altura do mês estava meio?

Este é um problema bem conhecido que envolve o crescimento geométrico ou exponencial. Hoje mostramos como estas ideias estão na base da bomba atómica.

E então? Em que altura do mês é que o lago estava meio? A primeira tentação é pensar que seria a meio do mês, lá para dia 15, ou quando muito no lá para dia 20 e pouco. Claro que a resposta correta é: no dia 29! Na véspera do último dia do mês - no penúltimo dia do mês - o lago estava meio, no dia seguinte os nenúfares duplicaram uma última vez e o lago ficou cheio!

A resposta é surpreendente e apanha muita gente desprevenida, justamente pelo comportamento contraintuitivo da exponencial. Que não só cresce rapidamente, como em cada etapa cresce em valor absoluto de forma incomparável com as primeiras etapas.

Há muitas coisas há nossa volta que têm este tipo de crescimento, uma delas é o crescimento económico. Tipicamente o PIB cresce uma certa percentagem ao ano, em cada ano temos mais uma percentagem do valor do ano anterior, isto é um crescimento exponencial, tal como no caso dos nenúfares. Claro que o valor do PIB não duplica de ano para ano, a taxa de crescimento é menor, ainda assim é um crescimento exponencial. Na verdade, pode mostrar-se que qualquer crescimento exponencial tem um chamado tempo de duplicação. Trata-se de um intervalo de tempo - que depende da taxa de crescimento - em que o valor duplica, a cada passagem desse intervalo de tempo. Ou seja, supondo que a economia cresce a uma taxa constante ao ano, existe um intervalo de tempo, medido em anos, em que o PIB duplica sempre que passa esse intervalo de tempo, tal como no caso dos nenúfares.

Isto quer dizer nos últimos anos o valor absoluto do PIB cresceu em valor absoluto de forma incomparável ao que cresceu, digamos, no final do século passado. O que é preocupante é que os recursos naturais que são necessários para manter este PIB são essencialmente proporcionais ao próprio PIB. O que quer dizer que também estamos a consumir esses recursos naturais de forma exponencial.

Como os recursos naturais não são claramente infinitos, algo vai acontecer: ou a economia não vai continuar a crescer - como todos nós gostaríamos e como os economistas acham que é saudável - ou o consumo de recursos naturais deixa de ser proporcional ao PIB, ou temos de começar a imigrar para outros planetas para aumentar os recursos naturais. Quem sabe se a crise atual, com a correspondente estagnação económica, é mais estrutural do que pode parecer à primeira vista e corresponde simplesmente a este limite.

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