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Expresso

A bola de futebol é mesmo um esférico?

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Passei metade da minha carreira de professor a ensinar a engenheiros mecânicos o que é uma esfera. Há pouco tempo percebi que um dos maiores problemas deles... é não terem esferas!

Se ainda não viu o episódio desta semana, dê uma vista de olhos: desta vez explicamos como a FIFA mede as suas bolas de futebol!

Tal como dizia há pouco, a minha pesquisa para este episódio foi de certa forma um choque para o professor de matemática que há em mim. Trabalho na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa: embora tenhamos um curso de matemática, a maior parte do meu trabalho docente consiste em ensinar cálculo nos primeiros anos dos cursos de engenharia. Em quatro ou cinco disciplinas ensinamos todo o cálculo diferencial e integral numa e mais dimensões, tudo o que um bom engenheiro deve saber sobre técnicas clássicas de análise matemática. Os exercícios envolvem os mais elaborados cálculos sobre campos escalares e vetoriais, ao longo de esferas, elipsoides e hiperboloides. Este é o conteúdo típico de qualquer curso de engenharia por esse mundo fora.

Ao escrever este episódio descobri que um dos maiores problemas em engenharia é o facto de, na realidade, não existirem esferas, nem elipsoides e muito menos hiperboloides. Como mostramos no vídeo, um dos maiores problemas práticos, por exemplo em engenharia mecânica, é medir a ausência de esfericidade, medir o quanto um objeto aproximadamente esférico se afasta da esfera perfeita, decidir entre dois objetos que não são esferas perfeitas qual é o melhor para um determinado fim.

Há vários critérios para medir a ausência de esfericidade de um objeto - o problema é que não é nada claro qual deles é o melhor. Um dos processos tecnologicamente mais evoluídos e usados atualmente em peças que tenham elevados padrões de qualidade, provavelmente o teste que a FIFA deveria passar a aplicar nas bolas de futebol, consiste em medir, com uma precisão bem para lá do olho nu, a posição tridimensional de um grande conjunto de pontos na superfície do objeto. Isto é conseguido com um aparelho de alta precisão que mede a posição destes pontos e transfere esses mesmos dados para um computador. Depois, esses pontos são tratados por um software específico que de certa forma calcula a esfera que melhor se ajusta a estes pontos, por uma variante de uma técnica conhecida como “método dos mínimos quadrados”. Finalmente, a falta de esfericidade do objeto é avaliada pela distância a que estes pontos estão desviados desta esfera.

Uma outra forma diferente de medir a ausência de esfericidade de um objeto é determinar, por um lado, a maior esfera que está contida dentro do objeto, por outro, a mais pequena esfera que o contém. Depois, a ausência de esfericidade é medida pela diferença entre estas duas esferas: quanto menor for essa diferença mais esférico é o objeto. Infelizmente, este método é essencialmente teórico e difícil de aplicar na prática.

Finalmente, uma outra técnica, muito usada na prática no futebol, é simplesmente lançar a bola a rolar sobre uma superfície direita e ver o quanto a trajetória da bola se afasta da linha reta. Uma esfera perfeita, numa superfície plana perfeita e horizontal, seguiria exatamente em linha reta. Assim, é razoável pensar que quanto menos reta for a trajetória, menos esférica é a bola. Esta técnica tem a desvantagem de não medir só a esfericidade. Uma esfera perfeita em que o peso não esteja bem equilibrado pode também desviar-se da linha reta. De qualquer forma, do ponto de vista prático, a boa distribuição do peso na bola também é uma coisa importante para o futebol.

O que me impressionou, como professor, foi o fato de não me ter dado conta de - paralelo a tudo o que estava a ensinar – haver algo extremamente elementar, relacionado com o que estava a lecionar, e que é central para a vida de um engenheiro. Será que teria alterado o programa da disciplina? Provavelmente não. Quase todas as aplicações práticas da matemática consistem na arte de ajustar um modelo matemático perfeito, e por isso mais simples, a uma realidade muito mais complexa. A conhecimento desse modelo mais simples permite depois ganhar uma melhor compreensão sobre o objeto real. De qualquer forma, se tivesse percebido este problema prático das ‘esferas’ reais, teria olhado para isto de outra forma e necessariamente teria sido um melhor professor.

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